10 Señales y propiedades del sistema que nunca querrá olvidar

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Señales y sistemas para maniquíes

Por Mark Wickert

Un gran mundo de propiedades está asociado con señales y sistemas – ¡mucho en matemáticas solamente! Aquí están diez propiedades inolvidables relacionadas con el trabajo de señales y sistemas.

Estabilidad del sistema LTI

Los sistemas de variables temporales lineales (LTI) son estables si la región de convergencia (ROC) en los planos s- y z incluye el

El plano s se aplica a los sistemas de tiempo continuo, y el plano z se aplica a los sistemas de tiempo discreto. Pero aquí está la parte fácil: Para los sistemas causales, la propiedad es polos en el plano s de la mitad izquierda y polos dentro del círculo unitario del plano z.

Rectángulos giratorios

La convolución de dos pulsos o secuencias idénticas de forma rectangular da como resultado un triángulo. El pico del triángulo está en la integral de la señal o suma de la secuencia al cuadrado.

El teorema de la convolución

Los cuatro teoremas (lineales) de convolución son: transformada de Fourier (FT), transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT), transformada de Laplace (LT) y transformada de Z (ZT). Nota: La transformada de Fourier en tiempo discreto (DFT) no cuenta aquí porque la convolución circular es un poco diferente de las otras en este conjunto.

Estos cuatro teoremas tienen el mismo resultado poderoso: La convolución en el dominio del tiempo puede reducirse a la multiplicación en los respectivos dominios. Para señales x1 y x2 o respuesta de impulso, y = x1 * x2 se convierte en

Magnitud de la respuesta de frecuencia

Para los dominios de tiempo continuo y discreto, la magnitud de la respuesta de frecuencia de un sistema LTI está relacionada con la geometría de polo cero.

Para señales de tiempo continuo, se trabaja en el s-dominio; si el sistema es estable, se obtiene la magnitud de la respuesta de frecuencia evaluando |H(s)| a lo largo del eje jω-axis.

Para señales de tiempo discreto, se trabaja en el dominio z; si el sistema es estable, se obtiene la magnitud de la respuesta de frecuencia evaluando |H(z)| alrededor del círculo de la unidad como

En ambos casos, la magnitud de la respuesta de frecuencia se anula si cualquiera de los siguientes valores pasa cerca o sobre un cero, y el pico de respuesta de la magnitud ocurre si cualquiera de los siguientes valores pasa cerca de un polo:

El sistema no puede ser estable si un polo está en cualquiera de los dos valores.

Convolución con funciones de impulso

Cuando convives con cualquier cosa con

se recupera lo mismo, pero se desplaza en t0 o n0. Es un buen ejemplo:

Espectro en DC

La corriente continua (DC), o valor medio, de la señal x(t) afecta al espectro de frecuencias X(f) correspondiente a f = 0. En el dominio de tiempo discreto, el mismo resultado se aplica a la secuencia x[n], excepto la periodicidad de

en el dominio de tiempo discreto hace que la componente DC en

Muestras de frecuencia del punto N DFT

Si muestrea una señal de tiempo continuo x(t) a una velocidad de fs muestras por segundo para producir x[n] = x(n/fs), entonces puede cargar N muestras de x[n] en una transformada de Fourier discreta (DFT) – o en una transformada de Fourier rápida (FFT), para la cual N tiene una potencia de 2. Los puntos DFT k corresponden a estos valores de frecuencia de tiempo continuo:

Suponiendo que x(t) es una señal real, los puntos DFT útiles van de 0 a N/2.

Integrador y acumulador inestable

El sistema integrador Hi(s) = 1/s y el sistema acumulador Hacc(z) = 1/(1 – z-1) son inestables por sí mismos. Por qué? Un polo en s = 0 o un polo en z = 1 no es bueno. Pero puede usar ambos sistemas para crear un sistema estable colocándolos en una configuración de retroalimentación. Esta figura muestra sistemas estables construidos con los bloques de construcción del integrador y del acumulador.

Usted puede encontrar las funciones del sistema estable de circuito cerrado haciendo el álgebra:

El espectro de un pulso rectangular

El espectro de una señal o secuencia de pulso rectangular (que es la respuesta de frecuencia si se ve la señal como la respuesta de impulso de un sistema LTI) tiene nulos espectrales periódicos. La relación para señales continuas y discretas se muestra aquí.

Simetría extraña de media onda y armónicos de series de Fourier

Una señal periódica con una extraña simetría de media onda,

es el período, tiene una representación de series de Fourier que consiste sólo de armónicos impares. Si, para alguna constante A,y(t) = A + x(t), entonces la misma propiedad se mantiene con la adición de una línea de espectro a f = 0 (DC). Las formas de onda cuadradas y triangulares son raras y semiondas simétricas dentro de un offset constante.

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