10 maneras de calcular funciones de trigonometría sin funciones de trigonometría

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Trigonometría para maniquíes, 2ª edición

Por Mary Jane Sterling

Una función trigonométrica tiene valores de entrada que son ángulos y valores de salida que son números reales. Tiene dos opciones al introducir valores en una función trigonométrica: Puedes usar grados o radianes. La mayoría de la gente se siente más cómoda con las medidas de grado, pero las medidas de radián tienen un beneficio enorme: son números reales – tienen valores decimales y son múltiplos de π

Las siguientes son fórmulas para calcular funciones de trigonometría utilizando la suma de los términos de una serie. Cuantos más términos utilice, más precisa será su respuesta con más decimales. Algunas de estas series tienen fórmulas reconocibles para el término general. Otros sólo tienen un patrón que usted puede seguir.

Seno

El seno del ángulo x (escrito en medida de radián) es igual a la suma de los siguientes términos:

El patrón parece ser usar factoriales de números impares en el denominador, el mismo número impar que la potencia de x, y alternar los signos. El término general para esta serie es

Coseno

El coseno del ángulo x (escrito en medida de radián) es igual a los siguientes términos:

Este patrón utiliza factoriales pares en los denominadores, el mismo número par que una potencia, y alterna los signos. Puede que te preguntes acerca de ese primer término. Puesto que 0! es igual a 1 (por definición) y x0 es igual a 1, tienes 1 dividido por 1 que es bastante cercano a 1. El término general para esta serie es:

Tangente

La tangente del ángulo x (escrita en medida de radián) es igual a los siguientes términos:

El patrón aquí no parece tan obvio. De hecho, es bastante complicado. En lugar de mostrarte el término general, puedes aplicar la fórmula para encontrar la tangente de 45 grados, o bien

Esta es una elección inteligente de tu parte, porque ya sabes que la tangente de 45 grados es igual a 1.

Usando la fórmula,

Este cálculo será sólo para los primeros cinco trimestres. Cuantos más términos utilice, más se acercará a 1. Los siguientes pasos involucran decimales y mucha computación en la calculadora, pero ten paciencia:

Sin entrar en los detalles sangrientos, puede ver los valores decimales individuales de los términos:

Sumando estos cinco términos, obtienes 1.000916. Sí, eso es mayor que 1, pero redondea un par de esos cálculos para hacerlos de seis decimales. Llevar más decimales también lo hace más preciso.

Tangente inversa

La tangente inversa con un número real x te da la medida del ángulo de la entrada. La tangente inversa es igual a los siguientes términos:

Aquí hay dos reglas diferentes. Esencialmente, el cuadrado de cualquier fracción apropiada – cualquier número entre -1 y 1 – tiene un cuadrado que es menos de 1.

Seno inverso

El seno inverso dado un número real x entre -1 y 1 (incluyendo esos dos números) le da la medida del ángulo de la entrada. El seno inverso se encuentra con términos formados a partir de la siguiente fórmula:

Aquí están los primeros términos, creados a partir de la fórmula.

De acuerdo. Ya es suficiente. Te das cuenta de lo que pasa.

Ángulo de 45 grados

Un ángulo de 45 grados, más conocido como

tiene una serie infinita que da el valor del ángulo a muchos, muchos decimales – tantos como se quiera calcular.

La fórmula para todos los términos es la siguiente

Observa que las potencias de -1 hacen que los términos se alternen en signo.

Pi al cuadrado dividido por 6

Hay muchos de estos bienes usando los poderes de π en fracciones que forman series infinitas. Aquí hay uno:

Probablemente preferiría usar una calculadora gráfica para calcular esta medida de ángulo, pero ¿qué tiene de divertido?

Tronco natural de seno

Los logaritmos naturales se utilizan ampliamente en aplicaciones científicas y empresariales. Encontrar el registro natural del seno del ángulo x (dado en radianes) se puede lograr con lo siguiente:

Usted ve que el único término positivo en esta serie es el primer término.

Seno como el poder de e

En la sección anterior, usted vio cómo encontrar el registro natural de la función sinusoidal. El inverso del tronco natural es un poder de e. Así que, volviendo las tablas, aquí está la serie para e elevada al seno del ángulo x (en radianes).

Como puedes ver, las señales están por todas partes. Y los factoriales saltan.

Creando 1 a partir de los senos

Este último tenía que ser un regalito. La mayoría de la gente piensa que el número 1 es perfecto. Es fácil de calcular y forma parte de muchas estructuras matemáticas. Pero si estás aburrido de las formas normales de computación 1, aquí tienes una respuesta a tu necesidad de estimulación:

Hay una estipulación de que 0 < x < k.

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