10 escollos a evitar cuando se trabaja con exponentes

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En álgebra, las reglas usadas cuando se trabaja con exponentes son directas y consistentes. Sin embargo, surgen desafíos cuando se aplican las reglas o cuando se sabe cómo aplicarlas en situaciones en las que el problema es más complicado y no se parece exactamente a la regla.

Elevando a una potencia

Las reglas para elevar una potencia a potencia o dos factores a potencia son

Básicamente, estas reglas dicen que multiplicas el exponente original por el poder. Esto se ve bien en este formato, pero aquí hay algunos errores comunes:

  • (a3)5 ≠ a8, donde los exponentes se suman en lugar de multiplicarse. Esto debería ser (a3)5 = a15.
  • (2x3y4)5 ≠ 2x15y20, donde se olvida el coeficiente. Debe ser (2x3y4)5 = 25x15y20 = 32x15y20.

Exponentes negativos

Las reglas para tratar con exponentes negativos incluyen

La última regla es sólo un caso especial de la primera regla listada. Está aquí para enfatizar.

Los exponentes negativos fueron creados para facilitar la combinación de factores con la misma base. Pero con frecuencia se producen algunos abusos, como los siguientes:

Aquí, al coeficiente no se le ha asignado un exponente negativo. El texto debe ser el siguiente:

O, podrías dejar el 6 en el denominador y escribir

Poderes de las raíces

Cuando se cambia de una expresión radical a una que utiliza exponentes fraccionarios, las reglas son

Una raíz se indica con un exponente fraccionario. La raíz siempre va en el denominador de la fracción. Cuando una potencia de la raíz está involucrada, colócala en el numerador de la fracción.

Un error común es el siguiente:

Esto coloca la raíz (cuarta raíz) en el numerador, no el denominador. En vez de eso, debe ser escrito

Otro desafío ocurre cuando se pasa de la raíz fraccionaria a la radical. Cuando reescriba un 5/3, utilice lo siguiente:

O puedes escribir el poder fuera del radical como sigue:

Olvidar los factores resultantes

El factoraje de expresiones es un proceso básico en matemáticas. Sacar un factor común mayor (GCF) es generalmente la primera opción que se toma cuando se realiza una factorización. Un problema surge cuando no se indica el resultado de una división:

Debe indicar el resultado de cada división:

Factoraje de exponentes fraccionarios

La realización de factorizaciones que involucran exponentes fraccionarios -especialmente exponentes fraccionarios negativos- puede ser pegajosa. Por ejemplo, al factorizar 4a1/2 – 3a-1/2, primero hay que decidir qué es el GCF. La regla con potencias de la misma variable es dividir la menor de las dos potencias. En este caso, la potencia más baja es

Y la regla para dividir términos con la misma base es

En este caso, 4a1/2 – 3a-1/2 = a-1/2(4a-3). Recuerda, al dividir, restas los exponentes, y

Exponentes ocultos

En matemáticas, hay muchas convenciones que se usan para escribir expresiones. Por ejemplo, cuando escribes el número 6, asumes que es +6 y que la potencia del 6 es un 1 y que hay un punto decimal a la derecha del 6. Tomaría mucho más tiempo escribir números si cada uno de esos símbolos tuviera que ser escrito. El reto es no olvidar que las notaciones están ahí.

Los exponentes ocultos pueden perderse al factorizar expresiones fraccionarias. Por ejemplo:

Primero, la regla es que tienes que dividir cada término en la fracción por el mismo valor. Segundo, el marco de cooperación mundial de los tres términos no es a2. El exponente oculto está en el 1 – porque puedes escribir el 1 como a0, haciendo que la potencia más baja, o GCF, sea el término a0. Por lo tanto, la factorización real de esta fracción es dejarla tal cual – dividirla por a0 = 1 no cambia nada.

Múltiples exponentes negativos

Los exponentes negativos son muy útiles, pero también pueden ser problemáticos para los que no están preparados o tienen prisa. Por ejemplo:

Tú dices:”Oh, no, yo nunca haría eso”. Es bueno escuchar eso, pero no se deje atrapar en una solución rápida con expresiones similares. La forma correcta de tratar la expresión es

Distribución sobre exponentes fraccionarios

Esos exponentes fraccionarios siguen apareciendo como niños problemáticos. Uno no pensaría que serían un gran problema, especialmente porque la mayoría de la gente ha estado trabajando con la adición de fracciones desde el principio de la escuela primaria. Es sólo que, cuando las fracciones se ponen en una situación exponencial, a veces esas reglas se olvidan. La regla a la que me refiero aquí tiene que ver con la multiplicación de términos con la misma base:

Aplicando esto a una distribución, un error común es multiplicar, en lugar de sumar:

Sí, es terriblemente tentador eliminar esos molestos exponentes fraccionarios multiplicando por 2, pero la regla es sumar los exponentes. Así es como se hace:

Orden de operaciones

Según el orden de las operaciones, se realizan todas las potencias y raíces antes de la multiplicación y división. Se realiza la multiplicación y la división antes de la suma y la resta. Por supuesto, esos símbolos de agrupación pueden interrumpir el proceso requiriendo que usted maneje primero lo que hay en el símbolo de agrupación. Un movimiento realmente tentador es hacer lo siguiente:

Este error común ocurre a menudo en situaciones en las que hay que evaluar una expresión para algún valor particular de la variable. Pero, si quieres reescribir la expresión sin paréntesis, tienes que hacer lo siguiente:

El teorema del binomio entra en juego cuando se elevan binomios como (a – 1) a una potencia.

Encendido de binomios

El teorema del binomio proporciona una forma de determinar los coeficientes de la potencia de un binomio. El orden de las operaciones y las reglas de los exponentes son importantes aquí, porque los siguientes son errores comunes cuando se realizan esas potencias:

Al elevar un binomio a una potencia, en realidad estás multiplicando ese binomio el número de veces indicado por la potencia:

Luego usas el teorema del binomio o el triángulo de Pascal para ayudarte a rellenar los exponentes y coeficientes correctos:

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