10 cosas a tener en cuenta sobre la integración y el cálculo

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Cuaderno de cálculo para maniquíes, 2ª edición

Por Mark Ryan

La integración es una parte fundamental del cálculo. Si quieres convertirte en una persona plenamente integrada (a diferencia de una persona derivada), integra estas reglas de integración y haz de ellas una parte integral de tu ser.

La regla del trapecio

La regla del trapecio le dará una aproximación bastante buena del área bajo una curva en el caso de que usted no pueda – o decida no obtener el área exacta con la integración.

La regla del punto medio

La regla del punto medio proporciona una aproximación aún mejor de la superficie, ya que utiliza rectángulos.

La regla de Simpson

La mejor estimación de área está dada por la Regla de Simpson – usa formas trapezoidales que tienen tapas parabólicas.

Si ya tiene, digamos, la aproximación del punto medio para diez rectángulos y la aproximación del trapecio para diez trapecios, puede calcular sin esfuerzo la aproximación de la Regla de Simpson para diez “trapecios” con curvatura superpuesta con el siguiente atajo:

Esto le da una aproximación extraordinariamente buena.

La integral definitiva

En esencia, lo que todos los integrales definidos,

es sumar un número infinito de piezas infinitamente pequeñas de algo para obtener la cantidad total de la cosa entre a y b. La expresión después del símbolo integral,

(el integrando), es siempre una expresión matemática de una pieza representativa de las cosas que estás sumando.

La integral indefinida

La integral indefinida,

es la familia de todos los antiderivados de

Por eso tu respuesta tiene que terminar con “+ C”. Por ejemplo,

es la familia de todas las parábolas de la forma

como

y así sucesivamente. La derivada de todas estas funciones es 2x.

La altura de un rectángulo es igual a la parte superior menos la inferior.

Si estás sumando rectángulos con una integral definida para obtener el área total entre dos curvas, necesitas una expresión para la altura de un rectángulo representativo. Esto debería ser algo obvio: es sólo la coordenada y superior del rectángulo menos su coordenada y inferior.

El área por debajo del eje x es negativa

Si quieres, digamos, el área por debajo del eje x y por encima

entre

y

la parte superior de un rectángulo representativo está en el eje x, la función

y su fondo está en

Así, la altura del rectángulo es

y se utiliza la siguiente integral definitiva para obtener el área:

lo que equivale, por supuesto,

Así que esta integral negativa te da el área positiva ordinaria. Y es por eso que una integral positiva ordinaria te da un área negativa para las partes de una curva que están por debajo del eje x.

Integrar en trozos

Cuando se desea que el área total entre dos curvas y la función “top” cambie debido a que las curvas se cruzan entre sí, se debe utilizar más de una integral definida. Cada lugar en el que se cruzan las curvas define el borde de un área que debe integrarse por separado. (Si una función cruza el eje x, hay que considerar

como segunda función y las xintercepciones como puntos de cruce.)

El teorema fundamental del cálculo, toma 1

Dada una función de área

que barre el área bajo

a saber

la velocidad a la que se barre el área es igual a la altura de la función original. Por lo tanto, dado que la tasa es la derivada, la derivada de la función de área es igual a la función original:

El teorema fundamental del cálculo, toma 2

Dejemos que F sea cualquier antiderivado de la función f; entonces

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