10 conjuntos de números importantes que debe conocer

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Matemáticas Básicas y Pre-Álgebra Para Maniquíes, 2da Edición

Por Mark Zegarelli

Cada uno de los conjuntos de números listados aquí sirve para un propósito diferente, algunos familiares (como contabilidad y carpintería), otros científicos (como electrónica y física), y algunos puramente matemáticos.

Contando con contar (o números naturales)

Los números de conteo – también llamados los números naturales – son probablemente los primeros números que usted encontró. Empiezan con 1 y suben a partir de ahí:

Los tres puntos (o elipsis) al final le dicen que la secuencia de números continúa para siempre – en otras palabras, es infinita.

Si pones 0 en el conjunto de números de conteo, obtienes el conjunto de números enteros.

Identificar números enteros

El conjunto de números enteros incluye los números de conteo, los números de conteo negativos y el 0:

Conocer la razón de ser de los números racionales

Los números racionales incluyen los enteros y todas las fracciones entre los enteros. A continuación se enumera el conjunto de números racionales de -1 a 1 cuyos denominadores (números inferiores) son números positivos menores de 5:

Las elipses le dicen que entre cualquier par de números racionales hay un número infinito de otros números racionales – una cualidad llamada la densidad infinita de números racionales.

Los números racionales se utilizan comúnmente para las mediciones en las que la precisión es importante.

Dar sentido a los números irracionales

En cierto sentido, los números irracionales son una especie de catchall; cada número en la línea numérica que no es racional es irracional.

Por definición, ningún número irracional puede ser representado como una fracción, ni un número irracional puede ser representado como un decimal de terminación o un decimal de repetición. En cambio, un número irracional puede ser aproximado sólo como un decimal no interminable, no repetitivo: la cadena de números después del punto decimal continúa para siempre sin crear un patrón.

El ejemplo más famoso de un número irracional es pi, que representa la circunferencia de un círculo con un diámetro de 1 unidad.

Los números irracionales llenan los espacios en la línea de números reales. (La línea numérica real es sólo la línea numérica a la que estás acostumbrado, pero es continua; no tiene espacios en blanco, así que cada punto está emparejado con un número). Estos números se utilizan en muchos casos no sólo se necesita un alto nivel de precisión, como con los números racionales, sino el valor exacto de un número que no se puede representar como una fracción.

Los números irracionales vienen en dos variedades: los números algebraicos y los números trascendentales.

Absorción de números algebraicos

Para entender los números algebraicos, se necesita un poco de información sobre las ecuaciones polinómicas. Una ecuación polinómica es una ecuación algebraica que cumple las siguientes condiciones:

  • Sus operaciones se limitan a sumar, restar y multiplicar. En otras palabras, no es necesario dividir por una variable.
  • Sus variables se elevan sólo a exponentes positivos, de número entero.

Aquí hay algunas ecuaciones polinómicas:

Moverse a través de los números trascendentales

Un número trascendental, en contraste con un número algebraico, nunca es la solución de una ecuación polinómica. Al igual que los números irracionales, los números trascendentales son una especie de tópicos: Cada número en la línea numérica que no es algebraico es trascendental.

El número trascendental más conocido es pi, cuyo valor aproximado es 3,1415926535….. Sus usos comienzan en la geometría pero se extienden a prácticamente todas las áreas de las matemáticas.

Ser castigados en números reales

El conjunto de números reales es el conjunto de todos los números racionales e irracionales. Los números reales comprenden cada punto de la línea numérica.

Tratando de imaginar números imaginarios

Un número imaginario es cualquier número real multiplicado por

Para entender lo que es tan extraño acerca de los números imaginarios, ayuda saber un poco acerca de las raíces cuadradas. La raíz cuadrada de un número es cualquier valor que, multiplicado por sí mismo, te da ese número. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 x 3 = 9. Y la raíz cuadrada de 9 es también -3 porque -3 x -3 = 9.

El problema de encontrar

es que no está en la línea numérica real. Para estar en la línea numérica real, un número debe ser positivo, negativo o 0. Pero cuando multiplicas cualquier número positivo por sí mismo, obtienes un número positivo. Y cuando multiplicas cualquier número negativo por sí mismo, también obtienes un número positivo. Finalmente, cuando multiplicas 0 por sí mismo, obtienes 0.

Matemáticos designados

con el símbolo i. Como no encajaba en la línea numérica real, obtuve su propia línea numérica, que se parece mucho a la línea numérica real. La figura muestra algunos números que forman la línea numérica imaginaria.

Aunque estos números se llaman imaginarios, los matemáticos de hoy los consideran no menos reales que los números reales. Y la aplicación científica de los números imaginarios a la electrónica y a la física ha verificado que estos números son algo más que producto de la imaginación de alguien.

Comprender la complejidad de los números complejos

Un número complejo es cualquier número real más o menos un número imaginario. Considere algunos ejemplos:

Puede convertir cualquier número real en un número complejo con sólo añadir 0i (que es igual a 0):

Estos ejemplos le muestran que los números reales son sólo una parte del conjunto más grande de números complejos.

Ir más allá del infinito con números transfinitos

Los números transfinitos son un conjunto de números que representan diferentes niveles de infinito. Considere esto por un momento: Los números de conteo (1, 2, 3, ….) continúan para siempre, así que son infinitos. Pero hay números más reales que contar números.

De hecho, los números reales son infinitamente más infinitos que los números que cuentan. El matemático Georg Cantor lo demostró. También demostró que, para cada nivel de infinito, se puede encontrar otro nivel que es aún más alto. Él llamó a estos niveles cada vez mayores de infinidad transfinita, porque trascienden, o van más allá, de lo que ustedes consideran como infinito.

El número transfinito más bajo es aleph null, que es igual al número de elementos en el conjunto de números de conteo ({1, 2, 3, 4, 5,….}). El siguiente número transfinito es aleph uno, que es igual al número de elementos del conjunto de números reales. Esta es una orden más alta de infinito que de infinito.

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