10 conceptos matemáticos que no puede ignorar

Las matemáticas en sí mismas son un gran concepto, y están repletas de tantos conceptos matemáticos más pequeños que ninguna persona puede entenderlos todos – incluso con una buena dosis de estudio. Sin embargo, ciertos conceptos son tan importantes que forman el Salón de la Fama de las Matemáticas:

  • Conjuntos y teoría de conjuntos: Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos, llamados elementos del conjunto, pueden ser tangibles (zapatos, gatos monteses, personas, gominolas, etc.) o intangibles (personajes ficticios, ideas, números, etc.). Los conjuntos son una forma tan simple y flexible de organizar el mundo que se pueden definir todas las matemáticas en términos de ellos. Los matemáticos primero definen los conjuntos con mucho cuidado para evitar problemas extraños – por ejemplo, un conjunto puede incluir otro conjunto, pero no puede incluirse a sí mismo. Después de que todo el concepto de un conjunto está bien definido, los conjuntos se utilizan para definir números y operaciones, como la suma y la resta, que es el punto de partida para las matemáticas que ya conoces y amas.
  • Números primos: Un número primo es cualquier número de conteo que tenga exactamente dos divisores (números que se dividen en partes iguales) – 1 y el número mismo. Los números primos son eternos -es decir, la lista es infinita- pero aquí están los primeros diez:2 3 5 5 7 11 13 13 17 19 23 29 ….
  • Cero: Cero puede parecer una gran nada, pero en realidad es uno de los inventos más grandes de todos los tiempos. Como todos los inventos, no existió hasta que alguien lo pensó. (Los griegos y los romanos, que sabían tanto de matemáticas y lógica, no sabían nada de cero). El concepto de cero como número surgió independientemente en varios lugares diferentes. En Sudamérica, el sistema numérico utilizado por los mayas incluía un símbolo de cero. Y el sistema hindú-árabe utilizado en la mayor parte del mundo hoy en día se desarrolló a partir de un sistema árabe anterior que utilizaba el cero como marcador de posición. De hecho, el cero no es realmente nada – es simplemente una manera de expresar nada matemáticamente. Y eso es realmente algo.
  • Pi (π): El símbolo π es una letra griega que representa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Aquí está el valor aproximado de π:π ≈ 3.1415926535….
  • Aunque π es sólo un número – o, en términos algebraicos, una constante – es importante por varias razones: la geometría no sería la misma sin ella. Los círculos son una de las formas más básicas de la geometría, y se necesita π para medir el área y la circunferencia de un círculo.Pi es un número irracional, lo que significa que no existe una fracción que sea exactamente igual a ella. Más allá de esto, π es un número trascendental, lo que significa que nunca es el valor de x en una ecuación polinómica (el tipo más básico de ecuación algebraica).Pi está en todas partes en matemáticas. Aparece constantemente (sin intención de juego de palabras) donde menos te lo esperas. Un ejemplo es la trigonometría, el estudio de los triángulos. Los triángulos obviamente no son círculos, pero trigonometría usa círculos para medir el tamaño de los ángulos, y no se puede girar una brújula sin golpear π
  • Signos y ecuaciones iguales: El signo de igual humilde (=) es tan común en matemáticas que pasa virtualmente desapercibido. Pero representa el concepto de igualdad – cuando una cosa es matemáticamente igual a otra – que es uno de los conceptos matemáticos más importantes jamás creados. Una declaración matemática con un signo igual es una ecuación. El signo de igual enlaza dos expresiones matemáticas que tienen el mismo valor y proporciona una poderosa forma de conectar expresiones.
  • El xy-graph: Antes de que se inventara el xy-graph (también llamado el sistema de coordenadas cartesianas), el álgebra y la geometría se estudiaron durante siglos como dos áreas separadas y no relacionadas de las matemáticas. El álgebra era exclusivamente el estudio de las ecuaciones, y la geometría era únicamente el estudio de las figuras en el plano o en el espacio. El gráfico, inventado por el filósofo y matemático francés René Descartes, unió álgebra y geometría, permitiendo dibujar soluciones a ecuaciones que incluyen las variables x e y como puntos, líneas, círculos y otras formas geométricas en un gráfico.
  • Funciones: Una función es una máquina matemática que toma un número (llamado entrada) y devuelve exactamente otro número (llamado salida). Es como una licuadora porque lo que obtienes de ella depende de lo que pongas en ella. Suponga que inventa una función llamada PlusOne que añade 1 a cualquier número. Así que cuando se introduce el número 2, el número que se emite es 3:PlusOne(2) = 3Similarmente, cuando se introduce el número 100, el número que se emite es 101:PlusOne(100) = 101
  • El infinito: La misma palabra infinidad tiene un gran poder. También lo hace el símbolo del infinito (∞). El infinito es la cualidad misma de la infinitud. Y sin embargo, los matemáticos han domesticado el infinito en gran medida. En su invención del cálculo, Sir Isaac Newton introdujo el concepto de límite, que permite calcular lo que ocurre con los números a medida que se hacen muy grandes y se acercan al infinito.
  • La línea numérica real: Cada punto de la línea numérica representa un número. Eso suena bastante obvio, pero es extraño decirlo, este concepto no se entendió completamente durante miles de años. El filósofo griego Zeno de Elea planteó este problema, llamado Paradoja de Zeno: Para caminar por la habitación, primero hay que caminar la mitad de la distancia a través de la habitación. Entonces tienes que hacer la mitad de la distancia restante. Después de eso, hay que recorrer la mitad de la distancia que queda). Este patrón continúa para siempre, con cada valor siendo reducido a la mitad, lo que significa que nunca podrá llegar al otro lado de la habitación. Obviamente, en el mundo real, se puede y se puede caminar a través de las habitaciones todo el tiempo. Pero desde el punto de vista de las matemáticas, la paradoja de Zeno y otras paradojas similares permanecieron sin respuesta durante unos 2.000 años: Todas las fracciones enumeradas en la secuencia anterior están entre 0 y 1 en la línea numérica. Y hay un número infinito de ellos. Pero, ¿cómo se puede tener un número infinito de números en un espacio finito? Los matemáticos del siglo XIX – Augustin Cauchy, Richard Dedekind, Karl Weierstrass y Georg Cantor, entre otros – resolvieron esta paradoja. El resultado fue un análisis real, la matemática avanzada de la línea numérica real.
  • El número imaginario i: Los números imaginarios (números que incluyen el valori = √ – 1) son un conjunto de números que no se encuentran en la línea numérica real. Si esa idea suena increíble, ¿dónde más podrían estar? – no se preocupe: Durante miles de años, los matemáticos tampoco creían en ellos. Pero las aplicaciones del mundo real en electrónica, física de partículas y muchas otras áreas de la ciencia han convertido a los escépticos en creyentes. Así que si tus planes de verano incluyen cablear tu laboratorio subterráneo secreto o construir un condensador de flujo para tu máquina del tiempo – o tal vez sólo estudiar para obtener un título en ingeniería eléctrica – encontrarás que los números imaginarios son demasiado útiles para ser ignorados.
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